transformée de laplace

92 0 obj (Application de la transform\351e de Laplace) << 26 0 obj <> (Int\351gration) /Resources 7 0 R /FormType 1 5 0 obj x��P(�� 91 0 obj (La fonction impulsion) TRANSFORMATION DE LAPLACE 4.2 Abscisse de sommabilité Soit f une application sommable et nulle pour t<0. endobj /Matrix [1 0 0 1 0 0] /Type /XObject << /S /GoTo /D (section.1.3) >> x��P(�� (Racines r\351elles et distinctes.) << /S /GoTo /D (subsection.1.5.4) >> << /S /GoTo /D (section.1.7) >> /Shading << /Sh << /ShadingType 3 /ColorSpace /DeviceRGB /Domain [0.0 50.00064] /Coords [50.00064 50.00064 0.0 50.00064 50.00064 50.00064] /Function << /FunctionType 3 /Domain [0.0 50.00064] /Functions [ << /FunctionType 2 /Domain [0.0 50.00064] /C0 [1 1 1] /C1 [1 1 1] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 50.00064] /C0 [1 1 1] /C1 [0 0 0] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 50.00064] /C0 [0 0 0] /C1 [0 0 0] /N 1 >> ] /Bounds [ 22.50027 25.00032] /Encode [0 1 0 1 0 1] >> /Extend [true false] >> >> endobj /Resources 23 0 R /Subtype /Form 72 0 obj /BBox [0 0 100 100] (P\364les, z\351ros et r\351ponse) /ProcSet [ /PDF ] /Matrix [1 0 0 1 0 0] En principe, solved peut résoudre des équations différentielles de n’importe quel ordre. << 19 0 obj On peut étendre la transformation de Laplace au cas de certaines hyperfonctions, dites « hyperfonctions de Laplace » ou « hyperfonctions de type exponentiel » [1]. �,��*3�ĉGF�w��Q�o��Ż�g�C��j�\}wE��ߋw�ϯ��Sƛ��U�Cj�Q�ej�3��ӻ�/��)|U�� G|��FӾ)Yc�}u8jm;�ܾ̾1��"66��C�|$�_�|�X��G��+m�Dj��D� �p8��8vԾ��9g)�?��|`\��㰴��^[��v7K_�'��sv��^� (D\351finition de la transform\351e de Laplace) On considère l’équation différentielle linéaire du premier ordre : y’ – y = 1 et y(0) = 1 On applique la transformée de Laplace aux deux Exercice n°5 : Transformées inverses de Laplace Question 2 : Déterminer l’original des fonctions de transfert suivantes: Soit p1)) la transformée de Laplace de f(t). endobj 79 0 obj (Th\351or\350me de la valeur initiale et valeur finale) endobj En mathématiques, la transformation de Laplace est une transformation intégrale, c'est-à-dire une opération associant à une fonction (à valeur dans ou dans ) une nouvelle fonction dite transformée de , notée traditionnellement , via une intégrale. << endobj La transformée de Laplace pourrait donc exister pour certaines valeurs de la … endobj endobj 1- Déterminer les valeurs initiale et finale de f(t). /FormType 1 endobj (Addition $Soustraction$) /Resources 9 0 R >> 56 0 obj 2.6. %PDF-1.4 112 0 obj /ProcSet [ /PDF ] 88 0 obj 2.7. 75 0 obj << /S /GoTo /D (section.1.2) >> 16 0 obj x��P(�� 2-Déterminer les valeurs initiale et finale de la fonction dérivée f’ (t). x^ {\msquare} \log_ {\msquare} \sqrt {\square} \nthroot [\msquare] {\square} \le. endobj (Racines au d\351nominateur r\351elles et r\351p\351t\351es.) Pour a,b ∈R, L © a f (t)+b g(t) ª =aF(s)+bG(s) et L −1 © aF(s)+bG(s) ª =a f (t)+b g(t) Si les limitesexistent, lim s→∞ sF(s)=f (0+) et lim →0 sF(s)= lim 48 0 obj 35 0 obj Retrouvez des milliers d'autres cours et exercices interactifs 100% gratuits sur http://fr.khanacademy.orgVidéo sous licence CC-BY-SA. Transformée de Laplace de cos t et polynômes. endobj >> /FormType 1 Selon l’equation´ 2.8, la transformee de Laplace d’une capacitance est une capacitance´ d’impedance 1´ =sCen serie avec une source de tension´ V0=s, comme a la ﬁgure` 2.3. 20 0 obj 96 0 obj << /S /GoTo /D (section.1.6) >> 67 0 obj /Type /XObject /Length 15 endobj << Soit une fonction f(t) périodique de période T, on définit afin de pouvoir écrire Si G(p) est la transformée de Laplace de g(t), alors F(p) la transformée de f(t) s’écrit ð Exemple : Train d’impulsion de hauteur A, de largeur, de période T ð. 47 0 obj L'ancêtre de la transformée de Laplace fut constuite par Pierre-Simon Laplace à la fin du XVIIIème siècle, dans l'élaboration de sa théorie des probabilités. x��P(�� E��9�\��Y�-��{׊��y�p� 3D. /BBox [0 0 100 100] /ProcSet [ /PDF ] /FormType 1 "�� x��*:�\�� << stream Application de la transformée de Laplace à la résolution d’équations différentielles linéaires a. LatransforméedeLaplace de f (t) est notée F(s).Par déﬁnition, L © f (t) ª = Z ∞ 0 e−s t f (t)dt =F(s) si l’intégraleimpropreconverge Les opérateurs L et L −1 sont desopérateurslinéaires. /Length 2198 endstream Ӯ�T�|��ŧ��%�5��.��}��#�+Q=ȶ��+W=��_?5��ط�_��xV)�1��0��!O�?��1'��. La transformée de Laplace est surtout utilisée en SI (Sciences de l’Ingénieur), mais on peut également s’en servir en Physique-chimie pour la résolution d’équations différentielles. 87 0 obj endobj 1 {\displaystyle 1} 1 p {\displaystyle {\frac {1} {p}}} t … stream endstream Bonjour, Un système linéaire peut être caractérisé par la transformée de Laplace ou de Fourier de sa fonction de transfert. /Resources 17 0 R /BBox [0 0 100 100] endobj 71 0 obj Laplace comme opérateur linéaire et Laplace des dérives. Transformation de Laplace de t: L {t} Transformation de Laplace de t^n : L {t^n} >> endobj /Shading << /Sh << /ShadingType 2 /ColorSpace /DeviceRGB /Domain [0.0 100.00128] /Coords [0.0 0 100.00128 0] /Function << /FunctionType 3 /Domain [0.0 100.00128] /Functions [ << /FunctionType 2 /Domain [0.0 100.00128] /C0 [0 0 0] /C1 [0 0 0] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 100.00128] /C0 [0 0 0] /C1 [1 1 1] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 100.00128] /C0 [1 1 1] /C1 [1 1 1] /N 1 >> ] /Bounds [ 25.00032 75.00096] /Encode [0 1 0 1 0 1] >> /Extend [false false] >> >> Université de Savoie DEUG STPI Unité U32 Systèmes linéaires - Automatique - 69 - ANNEXE 2 TABLE DES TRANSFORMÉES DE LAPLACE À l’USAGE DES AUTOMATICIENS ET ELECTRONICIENS 1 Transformations usuelles - fonctions continues Toutes les fonctions du temps … /Shading << /Sh << /ShadingType 2 /ColorSpace /DeviceRGB /Domain [0.0 100.00128] /Coords [0 0.0 0 100.00128] /Function << /FunctionType 3 /Domain [0.0 100.00128] /Functions [ << /FunctionType 2 /Domain [0.0 100.00128] /C0 [1 1 1] /C1 [1 1 1] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 100.00128] /C0 [1 1 1] /C1 [0 0 0] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 100.00128] /C0 [0 0 0] /C1 [0 0 0] /N 1 >> ] /Bounds [ 25.00032 75.00096] /Encode [0 1 0 1 0 1] >> /Extend [false false] >> >> << /S /GoTo /D (section.1.1) >> << 39 0 obj 4 0 obj 10 0 obj endobj endobj stream /ProcSet [ /PDF ] /BBox [0 0 100 100] x��P(�� Transformées de Laplace vs transformées de Fourier La transformée de Laplace et la transformée de Fourier sont des transformées intégrales, qui sont le plus souvent utilisées comme méthodes mathématiques pour résoudre des systèmes physiques modélisés mathématiquement. endobj 63 0 obj << /S /GoTo /D (subsection.1.7.2) >> /Matrix [1 0 0 1 0 0] 36 0 obj Définition : Si f est une fonction causale, on appelle transformée de Laplace de f , la fonction L définie par : La fonction f est appelée originale de la fonction L. On admet que : si une fonction g admet un original f alors cet original est unique. �ҹ/��m�0�Y�4�>�%v7��F1��/�XeZV�rb�zyz��x�cE�s��O��?. endstream 11 0 obj (Transform\351es inverses) Transformées de Laplace des hyperfonctions. endobj endobj >> 95 0 obj endobj << /S /GoTo /D (subsection.1.5.7) >> x��YɎ�F��W�f z%�+�hLG��e3��P��Kk��0�� /Filter /FlateDecode 2.3 Transformation inverse de Laplace Transformation inverse de Laplace de la fonction complexe F(s) est ƒ(t) ∫+ ∞ − ∞ − = = c j > c j 1 F(s)est ds fort 0 2 j 1 L [F(s)] f(t) π En pratique, la transformée inverse de Laplace n’est pas obtenue par intégration complexe mais avec le tableau des transformées Laplace. Pour les articles homonymes, voir Laplace. endobj << << /S /GoTo /D (subsection.1.7.3) >> /Type /XObject Dans ce cours nous verrons essentiellement les calculs et formules à connaître, nous ne détaillerons pas trop les conditions mathématiques d’existence des transformées de Laplace (parfois abrégé TL dans ce cours). /Type /XObject /Filter /FlateDecode %�� endobj Pour peu qu’ils soient lin´eaires, la transform´ee de Laplace est un outil tr`es simple d’emploi pour r´esoudre les probl`emes d’´evolution (´equations diﬀ´erentielles << endobj >> stream /Length 15 /FormType 1 endobj endobj << (Changement d'\351chelle) >> (La fonction \351chelon) endobj endobj 103 0 obj de fonctions admettent une transform´ee de Laplace, ce qui n’est pas le cas des transform´ees de Fourier. 3-Décomposer F(p) en éléments simples. << >> stream :[ц��%t��l��\�b �-@Q�w��;tƓ�� 7�;��_ &��h��?Jv��c/��P�*9p�H��g� �2�%%�Fݹ8I�hWp�_�@UM�� dC� 6�֩�u�&�#L��`��7�%�.k�� ,w.��W�.�� 1��'��j��k��I�P�#)�㚾9��S��Y4��dQ��*m��}��U��+e6��%�^��@hV�/�i�j?K�H}�Y:�ŗ 6tZ� Z�5��>$cq�7� m�@��kX!��a?�h��ߓb��%*>�E�H2"(�(h%��^�߽��v/[u/��1.�i��5��*^��~�c��V�� (Transform\351es fonctionnelles) /Filter /FlateDecode endobj endobj << /S /GoTo /D (subsection.1.5.6) >> 100 0 obj /Type /XObject 28 0 obj /ProcSet [ /PDF ] endstream /Type /XObject stream << /S /GoTo /D (section.1.4) >> >> 6 0 obj dt +∞ −∞ − = e pt f t. ( ). dt ∫ 0 +∞ −. 40 0 obj << /S /GoTo /D (chapter.1) >> La fonction f(t) est appelée original , fonction objet , ou fonction causale . >> >> Transformée de Laplace et inverse. /Subtype /Form endobj 25 0 obj /Subtype /Form << /S /GoTo /D (subsection.1.7.1) >> /FormType 1 /BBox [0 0 100 100] 64 0 obj transformée de Laplace de f la fonction de variable réelle ou complexe : F( p) = LLLL f (p) = ∫ e pt . x��\ˮ$G�߯(vՒ��[$��3,̼0��3�X >��X� �Nd��} 55 0 obj - A t'on plus d'info sur le système avec la transformée de Laplace endobj /Matrix [1 0 0 1 0 0] endobj 7. /Filter /FlateDecode 83 0 obj full pad ». endobj endstream endobj endobj endobj 5 0 obj /Filter /FlateDecode /Subtype /Form endobj /Subtype /Form endobj /Matrix [1 0 0 1 0 0] ( ) f t H t ( ). endobj la transformation de Laplace. /Length 15 << endobj << /S /GoTo /D (subsection.1.5.2) >> endobj 22 0 obj �c��I��R�K�� z�K��"� 31 0 obj /ProcSet [ /PDF ] Utilisation de la Transformation de Laplace afin de résoudre une équation non-homogène (Ouvre un modal) Équation différentielle, transformée de Laplace et fonction en escalier La méthode On notera L (y(x)) = Y(p) la transformée de y. endobj 76 0 obj Transformation "changeante" en multipliant une fonction par une exponentielle. Transformée de Laplace Page 7/8 Puis, en multipliant F(x) par (x+1) et en posant x= -1, il vient B= -1/2 puisque La fonction F se décompose alors en Cas plus complexe: De même, prenons la fonction rationnelle : Par factorisation du polynôme bicarré et par utilisation des identités remarquables, on peut x��P(�� x��P(�� Transformée de Laplace d’une fonction périodique. << endobj endstream /Matrix [1 0 0 1 0 0] Pour une hyperfonction définie par une distribution, on retrouve la théorie qui précède. /BBox [0 0 100 100] 52 0 obj Y��O8rؼ�$��d De$��^�z� ��B1�� fTpظ@� � ��YC��! endobj << /S /GoTo /D (subsection.1.7.4) >> Mais c'est à un physicien génial et aut… Pour chaque type de fonction f(t) il est possible de calculer la transformée de Laplace. Penser à utiliser la fonction existence. stream >> 99 0 obj << /S /GoTo /D (subsection.1.5.5) >> ( Modifier le tableau ci-dessous) Fonction. endobj 104 0 obj endobj Find the Laplace and inverse Laplace transforms of functions step-by-step. 32 0 obj /Filter /FlateDecode 107 0 obj (Transform\351es op\351rationnelles) /Subtype /Form << %PDF-1.5 /BBox [0 0 100 100] /Resources 20 0 R /Length 15 endobj stream If that is done, the common unilateral transform simply becomes a special case of the bilateral transform, where the definition of the function being transformed is multiplied by the Heaviside step function . (Translation dans le domaine du temps) 80 0 obj Dans tous les cas on considère que le circuit n'est placé aux bornes d'un générateur idéal de tension délivrant une tension (en général) variable u(t) qu'à un instant choisi pour origine des dates, et que le condensateur est initialement déchargé. Transformée de Laplace. /Shading << /Sh << /ShadingType 3 /ColorSpace /DeviceRGB /Domain [0.0 50.00064] /Coords [50.00064 50.00064 0.0 50.00064 50.00064 50.00064] /Function << /FunctionType 3 /Domain [0.0 50.00064] /Functions [ << /FunctionType 2 /Domain [0.0 50.00064] /C0 [1 1 1] /C1 [1 1 1] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 50.00064] /C0 [1 1 1] /C1 [0 0 0] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 50.00064] /C0 [0 0 0] /C1 [0 0 0] /N 1 >> ] /Bounds [ 21.25026 25.00032] /Encode [0 1 0 1 0 1] >> /Extend [true false] >> >> << /S /GoTo /D (subsection.1.5.3) >> endobj /Length 15 On peut aussi utiliser un modele avec une source de courant.` Domaine du temps C + v(t) + V0 s 1 sC 1 sC CV0 Domaine de Laplace ou + V Figure 2.3 – Capacitance dans le domaine de Laplace. 84 0 obj /FormType 1 endobj << 7 0 obj /Shading << /Sh << /ShadingType 2 /ColorSpace /DeviceRGB /Domain [0.0 100.00128] /Coords [0.0 0 100.00128 0] /Function << /FunctionType 3 /Domain [0.0 100.00128] /Functions [ << /FunctionType 2 /Domain [0.0 100.00128] /C0 [1 1 1] /C1 [1 1 1] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 100.00128] /C0 [1 1 1] /C1 [0 0 0] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 100.00128] /C0 [0 0 0] /C1 [0 0 0] /N 1 >> ] /Bounds [ 25.00032 75.00096] /Encode [0 1 0 1 0 1] >> /Extend [false false] >> >> << /S /GoTo /D (subsection.1.5.1) >> << << /S /GoTo /D (section.1.5) >> /Matrix [1 0 0 1 0 0] La transformee de Laplace permet donc de transformer le probl´ eme du domaine du` temps au domaine de la frequence. On dit que la transformée de Laplace d’une fonction existe si l’intégrale impropre donnée3 converge.OnremarquequeL © f (t) ª n’estpasunnombremaisunefonctiondes,s étantunevariable complexe. (La Transform\351e de Laplace) /Filter /FlateDecode On considère un circuit dit « R,C », constituée d'une résistance électrique de valeur R et d'un condensateur de capacité électrique C, placés en série. endobj endobj où H(t) est la fonction de Heaviside définie par H(t) = 0 pour t < 0, 1 pour t > 0. >> Une analogie est donn ee par les logarithmes, qui transforment les produits en sommes, et donc simpli ent les calculs. 48 CHAPITRE 4. /Shading << /Sh << /ShadingType 3 /ColorSpace /DeviceRGB /Domain [0.0 50.00064] /Coords [50.00064 50.00064 0.0 50.00064 50.00064 50.00064] /Function << /FunctionType 3 /Domain [0.0 50.00064] /Functions [ << /FunctionType 2 /Domain [0.0 50.00064] /C0 [0 0 0] /C1 [0 0 0] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 50.00064] /C0 [0 0 0] /C1 [1 1 1] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 50.00064] /C0 [1 1 1] /C1 [0 0 0] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 50.00064] /C0 [0 0 0] /C1 [0 0 0] /N 1 >> ] /Bounds [ 21.25026 23.12529 25.00032] /Encode [0 1 0 1 0 1 0 1] >> /Extend [true false] >> >> Exemples d’application [modifier | modifier le wikicode] À titre d’exemple, calculons les transformées de Laplace des signaux d’excitation les plus utilisés : l’impulsion, l’échelon, et les fonctions cosinus et sinus Comme la transformée de Fourier, avec laquelle elle a beaucoup de points communs, c'est une transformée intégrale, c'est à dire que sa définition est basée sur une intégrale. Transformées de Laplace directes. %�쏢 La transformée de Laplace est l'une des transformées les plus connues et les plus utilisées de l'Analyse, l'égale de la célébrissime transformée de Fourier. stream Transformée de Laplace de signaux 1 / 3 Signal N°1 : rechercher la transformée de Laplace du signal (d’une durée infinie) suivant : g(t) = Méthode : décomposer la première période ici f(t) en une somme de fonctions définies entre -∞∞∞∞ et +∞∞∞∞. 23 0 obj /Length 15 /Shading << /Sh << /ShadingType 2 /ColorSpace /DeviceRGB /Domain [0.0 100.00128] /Coords [0 0.0 0 100.00128] /Function << /FunctionType 3 /Domain [0.0 100.00128] /Functions [ << /FunctionType 2 /Domain [0.0 100.00128] /C0 [0 0 0] /C1 [0 0 0] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 100.00128] /C0 [0 0 0] /C1 [1 1 1] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 100.00128] /C0 [1 1 1] /C1 [1 1 1] /N 1 >> ] /Bounds [ 25.00032 75.00096] /Encode [0 1 0 1 0 1] >> /Extend [false false] >> >>