étudier la monotonie d'une suite

Etudier, sur , le sens de variation de la fonction telle que . 1 0 obj 1. Dans cette exercice, nous allons vous présenter une méthode rapide pour traiter les variations d'une suite géométrique. Pour tout entier naturel n, u_{n+1}-u_{n}\gt0. Si u(n+1) / u(n) < 1 on a : la suite est décroissante Si u(n+1) / u(n) > 1 on a: la suite est croissante. SOS MATH 1ère S – ÉTUDES DE FONCTIONS - Fiche 3 Savoir DÉMONTRER LA MONOTONIE D'UNE FONCTION SUR UN INTERVALLE 1ère fméthode: fDémontrer que, si a b, alors (a) f b) pour une croissance (ou (a) f b) pour une décroissance). à respecter l’ordre des quantifica- teurs ; … Pour tout , donc la suite est décroissante. I Définition. 'Etudier la variation' d'une suite signifie prouver qu'elle est croissante, décroissante, toujours ou à partir d'un certain rang, ou bien qu'elle n'est ni l'un ni l'autre. Cette méthode ne fonctionne que pour les suites géométriques! 2. <>>> Défi : Etudier la monotonie d'une suite . On utilise parfois une suite auxiliaire arithmétique ou géométrique pour étudier des suites quelconques. ?��ӻ�EZ Ah��"'ukUc;ݺ#�/��O�vJk��+O�w��IC?.V��P̪��ON��Bݰls�Z&�m>��~��Q�5�x?�%A�:ܯ��q�d��0#k��߬WXp�܏�Fe�Zv�e6�k�ޘ��Jv��:��{�lv��nj.� endobj Pour simplifier, nous voyons que retirer 1 à chaque terme ne change pas une monotonie. Déterminer le sens de variation des suites suivantes en étudiant le signe de la différence . 4. On détermine le signe de la différence u_{n+1}-u_{n}. Si la suite est définie explicitement, c'est-à-dire : , alors il faut étudier les variations de la fonction. Ainsi on peut se contenter d'étudier la suite de terme général $\sqrt{v_n}$. Or, pour tout réel x positif, −2x\leqslant 0. Etudier la monotonie d’une suite numérique Méthode 1 : Comparer u n +1 − u n à 0. + 1 n , n ı * ; d. U n Pour tout N , (multiplication par le conjugué). endobj x"B�}ͤU7i�l��I�t;K�=��Z��w_�n�l��?��a1�2��p?WX�f�¸��n��ڸ�s�w�~�F|=7��ny�߯��/��-p��\��p��v��hY �Z�|5UV�KF��_��3�X��nm�]儸V�F�V�\��o��! 2nde méthode: - Comparer [ u(n+1) / u(n)] avec 1. On montre par récurrence que pour tout entier naturel n, 0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}. u n+1 > u n). Méthode: Chercher le signe de . Il existe quatre façons de montrer qu'une suite est monotone, c'est-à-dire croissante ou décroissante (). Il t'accompagne tout au long de ton parcours scolaire, pour t'aider à progresser, te motiver et répondre à tes questions. f est décroissante sur \mathbb{R}^+ donc la suite est décroissante. Nous allons pouvoir aborder les notions de limite et de convergence, ou alors mettre en pratique ce que nous venons de voir avec les suites arithmétiques et les suites géométriques. Que peut-on en déduire sur la limite de la suite (un ) ? Savoir-Faire : Etudier la monotonie d’une suite Définitions: (u n) est croissante (resp. Etudier la monotonie de la suite (un ). On étudie les variations de la fonction f sur \left[ n_0;+\infty \right[ où n_0 est le rang du premier terme de la suite. Retrouve Alfa dans l'app, sur le site, dans ta boîte mails ou sur les Réseaux Sociaux. Etudier la variation (ou la monotonie ) de chacune des suites géométriques suivantes. 2. *** Les suites numériques *** le 31 décembre 2020 Leçon donnée sur le site de lumni.fr (45 minutes) qui permet de revoir les suites : qu'est-ce qu'une suite numérique ? 2) Méthodes pour étudier le sens de variation d’une suite Selon l’expression de la suite : Q á ; : • Méthode 1 : On calculera l’expression Q á > 5 Exo 7 Donnez les intervalles de stricte monotonie maximaux d’une fonction f dont voici le TV : x −∞ −7 3 4 +∞ 4 6 f(x) % & % & 2 0 −∞ Cette fonction a une inﬁnit´e d’intervalles de stricte monotonie, Après avoir calculé les premiers termes de la suite (un ), conjecturer une expression de un en fonction de n, puis démontrer cette conjecture. Question 4 - Suite dépendant d'une autre suite. e��$��4RH��j�l�/_k�Vk]k�پ+zL��ӂ1�O�-T�� ̤4�V0*�pӺ�>ʨ�f��&��s�}��~X��~�Ua��R�U�nqc��1z�w1c�J &��BO�,�s�]�Ec��9��Ns�ʵ�q��m�`�A� �)�2�K��_8l�ʖXO��~�� m�]\��C�-6��D%�73��F�e��q �0ѓ�"��@�� %]�RX)�r` ��l�M�y;�8+�ƦKH��E�f�q]D��!��ɉ�. Rappeler ce que signifie: " étudier la monotonie d’une suite " . 2. a. Étudions la monotonie de la suite ( U n), avec U n = 1 + 1 3 n ( n ): Cela revient à déterminer le sens de variation de la suite ( U n ) . Démontrer que, pour tout entier naturel n, un > n2 3. ˆ b 0 = 1 b n+1 = b n 3 b n+1 > b n Donc la suite (b n) est stric- tement d ecroissante a par- Donc, pour tout entier naturel n, on a 0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}. strict décroissante) lorsque, pour tout entier n, on a u n+1 ≤ u n (resp. 2. Le tableau de variation d’une fonction met en ´evidence ses intervalles de stricte monotonie maximaux. Etude d une suite ( Zeta de Riemann) Commentaires récents. Bonsoir, Je dois étudier la monotonie de plusieurs suites: Un= 1 - 2n Vn= 10^-n Sn= (-2)^n Tn=(ln 2)^n Simplement je n'ai jamais vu comment faire, j'ai trouvé une démarche sur le net où il faut calculer Un+1-Un, si le résultat est inférieur à 0 alors la fonction est strictement décroissante, je teste donc avec ma première expression: stream strictement croissante) lorsque, pour tout entier n, on a u n+1 ≥ u n (resp. Si vous voulez absolument raisonner avec le quotient, vous devez commen- cer par dire que pour tout et démontrer que … pour tout pour prouver que est croissante … pour tout pour prouver que est décroissante c) Pour traduire que la suite réelle est majorée : on écrit qu’il existe tel que pour tout . x��\Y��~7��P�R��N��i ^f��1p�yP��R[K�{_�/rY��,e��n�q;��ú��v�zX��ׯ��/�~]�7��o6��o��j�د6뛛�ͻ�͛/_\��[��/_��?�ƶF4��/X� ?~z��v�a9��휋��J͚_��ߚ��{@�"� endobj Sous-méthode 1: on étudie le signe de f(a) – b) si f ne peut s'écrire avec les fonctions de référence. Des conseils a)Quand la suite est donnée par récurrence : penser à vérifier qu’elle est bien définie. Skillz' 9 décembre 2013 à 21:21:10. 3 0 obj Exercice 1 Etudier la monotonie de la suite définie par u n = n − 2 n pour tout n. Méthode 2 : Lorsque u n +1 = f (n ) pour tout n, f étant une fonction monotone dans un intervalle du type [n 0 , + ∞ [, (u n ) a le même sens de variation que f . Il y a plusieurs manières d'étudier les variations d'une suite : on peut étudier le signe de u n+1 u n; si u n = f(n) avec f fonction réelle, on peut étudier la monotonie de f sur R+; si tous les termes sont de signe constant , on peut comparer u n+1 u n et 1. Initialisation : Pour n=0, on a bien 0\leqslant u_0\leqslant u_1. On suppose que 0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}. On peut donc conclure que la suite est croissante. - Si une suite est strictement croissante ou si elle est strictement décroissante, elle est dite strictement monotone. Pour tout , . 2) Étudier la monotonie de la suite (xn)n∈N. 3) Étudier : lim n→+∞ xn. 4 0 obj u n+1 < u n). . 2.1. C’est le cas pour les suites arithmético-géométriques qui peuvent modéliser l’évolution d’une population. . Soient a et b deux réels et (u n) une suite telle que pour tout entier naturel n : u n + 1 = a u n + b Pour étudier la monotonie d'une suite, il faut: 1ère méthode: - Etudier le signe de la différence u(n+1) - u(n) Si u(n) u(n+1) alors la suite est croissante. On a vu que pour étudier le sens de variation d'une suite, il nous faut simplement calculer la différence entre le terme "n+1" et son prédecesseur "n". 1. On compare, pour tout entier naturel n, le quotient \dfrac{u_{n+1}}{u_n} à 1. (u n Révisez en Terminale : Méthode Etudier la monotonie d'une suite avec Kartable ️ Programmes officiels de l'Éducation nationale - Etudier le sens de variation d'une suite, c'est étudier sa monotonie éventuelle. Généralement, on étudie les variations de (cela serait maladroit d'étudier une fonction uniquement avec des nombres entiers). Tout d'abord, rappelons que l'objectif est l'étude de la monotonie de $u$ et rien d'autre. <> b) Il vaut mieux étudier la monotonie d’une suite en étudiant le signe de . Étudier la monotonie des suites ( U n ) définies par: a. U n = 1 + 1 3 n, n ı ; b. U n = 2 n - n, n ı ; c. U n = 1 + 1 2 + 1 3 + . Dans le cas d'une suite à termes strictement positifs, en comparant, Montrer que les termes de la suite sont strictement positifs, En utilisant une démonstration par récurrence, Exercice : Connaître les caractéristiques des limites infinies de suites, Exercice : Connaître les caractéristiques des limites finies de suites, Exercice : Connaître les caractéristiques d'une suite convergente, Exercice : Connaître les caractéristiques d'une suite divergente, Exercice : Conjecturer graphiquement si une suite est convergente ou divergente, Exercice : Conjecturer graphiquement la limite d'une suite convergente, Exercice : Compléter le tableau de convergence d'une somme de suites convergentes, Exercice : Déterminer la limite d'une somme de suites convergentes dont on connaît la limite, Exercice : Compléter le tableau de convergence d'un produit de suites convergentes, Exercice : Déterminer la limite d'un produit de suites convergentes dont on connaît la limite, Exercice : Compléter le tableau de convergence d'un quotient de suites convergentes, Exercice : Déterminer la limite d'un quotient de suites convergentes dont on connaît la limite, Exercice : Déterminer la limite d'une opération de suites convergentes dont on connaît la limite, Exercice : Connaître le théorème des gendarmes, Exercice : Déterminer la limite d'une suite à l'aide du théorème des gendarmes, Exercice : Déterminer la convergence d'une suite géométrique, Exercice : Déterminer la convergence d'une combinaison linéaire de suites géométriques, Exercice : Connaître les étapes du raisonnement par récurrence, Exercice : Démontrer qu'une suite est majorée par récurrence, Exercice : Démontrer qu'une suite est minorée par récurrence, Exercice : Démontrer qu'une suite est bornée par récurrence, Exercice : Démontrer une égalité par récurrence, Exercice : Démontrer une inégalité par récurrence, Exercice : Démontrer que toute suite croissante non majorée tend vers +infini, Exercice : Démontrer par récurrence l’inégalité de Bernoulli, Exercice : Démontrer la limite d'une suite géométrique, Exercice : Démontrer la divergence vers +infini d’une suite minorée par une suite divergeant vers +infini, Exercice : Démontrer la limite en +infini et en –infini de la fonction exponentielle, Problème : Etudier la convergence d'une suite à l'aide du théorème de comparaison et du raisonnement par récurrence, Problème : Etudier la convergence d'une suite à l'aide du théorème des gendarmes et du raisonnement par récurrence, Problème : Etudier la convergence d'une suite à l'aide du théorème de convergence monotone et du raisonnement par récurrence, Problème : Étudier un phénomène d’évolution modélisable par une suite, Problème : Rechercher un seuil d'une suite à l'aide d'un algorithme, Problème : Rechercher une valeur approchée d'un nombre mathématique particulier à l'aide d'un algorithme, Méthode : Démontrer une propriété par récurrence, Méthode : Etudier la convergence d'une suite, Méthode : Montrer qu'une suite est arithmétique, Méthode : Montrer qu'une suite est géométrique, Méthode : Etudier une suite à l'aide d'une suite auxiliaire, Si le signe de la différence est positif ou nul pour tout, Si le signe de la différence est négatif ou nul pour tout, Si la différence change de signe en fonction de la valeur de, Si le quotient est supérieur ou égal à 1 pour tout, Si le quotient est inférieur ou égal à 1 pour tout, Si la position du quotient par rapport à 1 varie en fonction de la valeur de, Si la suite semble croissante, on montre alors par récurrence que, pour tout entier naturel, Si la suite semble décroissante, on montre alors par récurrence que, pour tout entier naturel, Si on a montré que, pour tout entier naturel. 2) Que peut on conjecturer sur la monotonie de la suite (Un) : Décroissante. Etudier la monotonie d’une suite numérique Etudier le comportement asymptotique d’une suite Exprimer en fonction de n le terme de rang n d’une suite arithmétique Pour les suites à termes positifs on peut également démontrer que le rapport u n+1 /u n est 1. Variations d'une suite à l'aide de deux méthodes différentes Démontrer en utilisant deux méthodes différentes que la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n= n^2 - 10n$ est monotone à partir d'un certain rang (que l'on précisera). On considère la suite \left( u_n \right) définie pour tout entier naturel n non nul par : On vérifie tout d'abord, éventuellement par récurrence si la suite est définie comme telle, que tous les termes de la suite sont strictement positifs. calculer la somme de termes consécutifs d'une suite Pour visualiser cette leçon, cliquez sur le lien suivant. Hérédité : Soit n un entier naturel. 2- Monotonie d’une suite Exemples : 1. (u n) est décroissante (resp. Conjecturer à l'aide des premiers termes du sens de variation de la suite puis justifier cette … 1) u0 =−4 un+1 =un −3 3) u0 =−2 un+1 =un − 1 n2 2) un =4n 11 Étudier la monotonie de la suite u, pour tout en-tier … Comme la fonction racine carré est strictement croissante sur [0;+\infty[, on obtient, 2\leqslant \sqrt{4+u_n}\leqslant \sqrt{4+u_{n+1}}. Dans quels cas utiliser une méthode ou une autre. Ainsi " étudier la monotonie d’une suite " revient à savoir si: la suite est (strictement) croissante ou (strictement ) décroissante. On a donc, pour tout entier naturel n non nul : Pour tout entier naturel n, on calcule le quotient \dfrac{u_{n+1}}{u_n} et on le simplifie de manière à pouvoir facilement le comparer à 1. Si u(n) u(n+1) alors la suite est décroissante. Etudier la monotonie d'une suite par le calculExercice On considère la suite \left (u_n\right) définie par : \begin {cases} u_0=4 \cr \cr \forall n \in \mathbb {N}, u_ {n+1}=\dfrac {2u_n-1} {u_n} \end {cases} On admet que \left (u_n\right) est une suite à termes positifs. On cherche à déterminer la monotonie d'une suite définie par récurrence ou explicitement en fonction de n. Soit \left( u_n \right) la suite définie par son premier terme u_0=0 et, pour tout entier naturel n, par : On calcule et simplifie la différence u_{n+1}-u_{n} de manière à pouvoir déterminer son signe. Conclusion : La proposition est initialisée et héréditaire. Est sur la convergence éventuelle de la suite (Un) : Converge vers 2. Nos conseillers pédagogiques sont là pour t'aider et répondre à tes questions par e-mail ou au téléphone, du lundi au vendredi de 9h à 18h30. <> ˆ a 0 = 1 a n+1 = a n + 2 a n+1 > a n Donc la suite (a n) est stric- tement croissante a partir du rang 0. Première partie : 1) Soit f la fonction définie sur |0;+ [ par f (x) : 4x-2/x+1. %�� On montre alors que 0\leqslant u_{n+1}\leqslant u_{n+2}. Un cas particulier de la règle de D'alembert. Comparer le quotient et le réel 1 pour une suite à termes strictement positifs. Comme 0\leqslant 2, on peut conjecturer que la suite est croissante. \dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{\dfrac{2^{-\left(n+1\right)}}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}}{\dfrac{2^{-n}}{n\left(n+1\right)}}=\dfrac{2^{-\left(n+1\right)}}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\times{\dfrac{n\left(n+1\right)}{2^{-n}}}, \dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{2^{-1}\times n}{\left(n+2\right)}. Entraîne-toi avec des exercices sur le sujet suivant : Etudier les variations d'une suite, et réussis ton prochain contrôle de mathématiques en Terminale S (2019-2020) suite arithmétique ou géométrique ? Etude de la monotonie d'une suite. Etudier les variations de f sur [0;+] J'obtiens f' (x) = 3/ (x+1)² Donc f croissante. Si la suite est définie par récurrence et que les autres méthodes n'aboutissent pas, on peut utiliser une démonstration par récurrence pour prouver la monotonie de la suite. 1 On cherche à déterminer la monotonie d'une suite définie par récurrence ou explicitement en fonction de n. Attention, cette méthode n'est valable que si la suite est à termes strictement positifs. Pour tout entier naturel n non nul, \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}\leqslant 1. Exercice 2 Donc f est décroissante sur \mathbb{R}^+. Comme la suite est à termes strictement positifs, en multipliant l'inégalité précédente par u_n, pour tout entier naturel n non nul, on obtient : Si la suite est définie de manière explicite par u_{n}=f\left(n\right), on peut étudier les variations de la fonction f. Soit \left( u_n \right) la suite définie par, pour tout entier naturel n : En remplaçant l'entier n par un réel x, on obtient la fonction f à étudier. 2 0 obj Besoin de plus de renseignements sur l'abonnement ou les contenus ? %PDF-1.5 2. On a, pour tout entier naturel n non nul : Donc, pour tout entier naturel n non nul : 0\leqslant 2^{-1}\times\dfrac{n}{n+2} \leqslant 1. Soit \left( u_n \right) la suite définie par son premier terme u_0=0 et pour tout entier naturel n par : On étudie les premiers termes de la suite pour conjecturer la monotonie éventuelle de la suite. 1 2 >> Sujet résolu. Sens de variations d’une suite 10 MÉTHODE 1 p. 135 Étudier la monotonie de la suite u, pour tout entier na-turel n, en déterminant le signe de un+1 −un. étudier la monotonie d'une suite. <>/XObject<>/ExtGState<>/ProcSet[/PDF/Text/ImageB/ImageC/ImageI] >>/MediaBox[ 0 0 595.32 841.92] /Contents 4 0 R/Group<>/Tabs/S/StructParents 0>>
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