1 C. Lainé SUITES NUMÉRIQUES Cours Première S 1. Posons f(x)=x^3+x-1 pour tout x \in \mathbb{R}. Solution : Etudier le sens de variation de la suite (u_n) définie pour tout n \in \mathbb{N} par u_n= \frac{n}{n+1} . Propriété : La fonction carré est strictement décroissante sur l’intervalle Titre initial : discontinuité en tout point d'une fonction strictement croissante Bonjour, Je voudrais montrer qu’il ne peut pas exister une fonction f strictement croissante discontinue en tout point, définie sur R ou sur un intervalle de R. et à valeurs dans R. Ce que je sais faire : soit x0 Sens 1. Conclusion Pour une suite géométrique de raison q : u_{n}=u_0 q^n. On définit f sur [0 ; + \infty [ par f(x)= \frac{x}{x+1} . Il s’agit de l’élément actuellement sélectionné. \phantom{u_{n+1} < u_n} \Rightarrow 2u_{n+1}-3< 2u_n-3 fonction croissante . décroissante). Par conséquent : q \leqslant 1). l'exemple précédent) et impaire. On peut vérifier sur la courbe que les inverses de a et b strictement positifs sont dans l'ordre inverse et que les inverses de deux nombres strictement négatifs sont aussi dans l'ordre inverse, Exemple : 2 et 3 sont positifs et rangés dans l'ordre: 2 < 3les inverses de deux nombres positifs sont dans l'ordre inverse et on peut vérifier que: Autre exemple : -2 et -3 sont négatifs et rangés dans l'ordre: -3 < -2les inverses de deux nombres négatifs sont dans l'ordre inverse et on peut vérifier que: Retenir les inverses de deux nombres non nuls et de même signe sont dans l'ordre inverse. Définition d'une fonction strictement décroissante sur un intervalle Lorsque pour tous a et b de l'intervalle, les images de a et de b sont rangés dans l'ordre inverse de a et b, on dit que la fonction est décroissante sur l'intervalle considéré. Hérédité Reproductions et traductions interdites sur tout support (voir conditions). Fonction croissante ou décroissante, positive ou négative sur un intervalle. f^\prime (x)= \frac{1\times(x+1)-1\times x}{(x+1)^2} = \frac{1}{(x+1)^2} > 0 Remarque 1 : Pour l'étude du signe on n'oubliera pas que n étant un entier naturel, il est positif ou nul. Soit une fonction f définie sur [0 ; 4] dont le tableau de variations est fourni ci-dessous : On cherche à déterminer le nombre de solutions de l'équation f\left(x\right)=-1. J'assume que la fonction demandée est ici f(x)=x³, avec x réel. u_{n+1} \leqslant u_n) pour montrer que la suite est croissante (resp. - On dit qu’une fonction est décroissante lorsqu’en parcourant la courbe de la gauche vers la droite, on « descend ». Si f est une fonction strictement croissante sur un intervalle I alors, quels que soient les réels distincts a et b de cet intervalle les réels b-a et f ⁡ b-f ⁡ a sont de même signe d'où f ⁡ b-f ⁡ a b-a > 0. u_{n+1}-u_n=u_0 q^{n+1}-u_0 q^n = u_0 q^n(q-1). Montrer que la suite (u_n) définie par u_0=0 et pour tout n \in \mathbb{N} : u_{n+1}= u_n+n-1 est croissante pour n \geqslant 1. u_{n+1}-u_n \geqslant 0 pour n \geqslant 1 donc la suite (u_n) est croissante à partir du rang 1. Merci à tous les intervenants. Remarque : la valeur 0 est interdite. On dit qu’elle elle est strictement monotone. On a − 1 < − 2 1 < 2 π 1 < 3 1 car − 2 < − 1 < 0 et 0 < 3 < 2 π. 1. a. Remarque 1 : pour qu'une fonction f soit croissante (resp. Remarque : Cela signifie donc que, sur l’intervalle I, les images de tous réels par la fonction fsont égales. x n'est ni croissante, ni décroissante sur [ … Par conséquent : f est strictement croissante ou strictement décroissante sur \left[a;b\right] y_{0} est compris entre f\left(a\right) et f\left(b\right) Exemple. Une suite géométrique de raison q>0 et de premier terme u_0>0 est croissante (resp. • Une fonction constante sur I peut être considérée comme croissante et décroissante sur I. Le numérateur et le dénominateur étant positifs (car n est un entier naturel) u_{n+1}-u_n >0 donc la suite (u_n) est strictement croissante. De cette propriété, on voit émerger la constatation suivante : 1. Les résultats peuvent être consignés dans un tableau appelé tableau de variation. Remarque 2 : Une suite peut très bien n'être ni croissante, ni décroissante, ni constante (cas des suites non monotones comme la suite (u_n) définie par u_n=(-1)^n). Démonstration: Soit a et b dans [0 ; +∞[ tels que ax 0 ⇒ f(x 1) f(y) ; strictement monotone sur I si elle est strictement croissante sur I ou strictement décroissante sur I; Exemples : soit n un entier strictement positif. Dans cette partie on considère une fonction f définie sur un intervalle I ainsi qu’un repère (O;I,J). Si [a, b] est un intervalle du domaine d’une fonction f, on dit que la fonction f est croissante dans l’intervalle [a, b] si et seulement si pour tout élément x 1 et x 2 de [a, b], si x 1 < x 2, alors f (x 1) ≤ f (x 2). u_{n+1}= \frac{n+1}{(n+1)+1}= \frac{n+1}{n+2}, u_{n+1}-u_n= \frac{n+1}{n+2}- \frac{n}{n+1}, u_{n+1}-u_n= \frac{(n+1)^2}{(n+2)(n+1)}- \frac{n(n+2)}{(n+1)(n+2)}, u_{n+1}-u_n= \frac{n^2+2n+1}{(n+2)(n+1)}- \frac{n^2+2n}{(n+1)(n+2)}, u_{n+1}-u_n=u_0 q^{n+1}-u_0 q^n = u_0 q^n(q-1), f^\prime (x)= \frac{1\times(x+1)-1\times x}{(x+1)^2} = \frac{1}{(x+1)^2} > 0, u_{n+1} < u_n \Rightarrow 2u_{n+1} < 2u_n, \phantom{u_{n+1} < u_n} \Rightarrow 2u_{n+1}-3< 2u_n-3, \phantom{u_{n+1} < u_n} \Rightarrow u_{n+2}< u_{n+1}, u_{n+1} < u_n \Rightarrow f(u_{n+1}) < f(u_n). \phantom{u_{n+1} < u_n} \Rightarrow u_{n+2}< u_{n+1} u_{n+1} < u_n \Rightarrow 2u_{n+1} < 2u_n f(a)−f(b)=a2 −b2 =(a+b)(a−b). − 2 1 < − 3 1 car − 2 > − 3 c. 7 3 < 5 3 car 3 7 > 3 5 d. 5 2 > − 3 4 car les signes sont opposés. Identifier sur la courbe d'une fonction un intervalle sur lequel elle est positive. u_0=1 et u_1=2 \times 1-3=-1u_1 < u_0 donc la propriété est vraie au rang 0. Expressions avec décroissant. Exercices : Lire sur la courbe représentative d'une fonction quel est son signe sur un intervalle donné. ce qui prouve l'hérédité. Soit la suite (u_n) définie sur \mathbb{N} par u_0=1 et pour tout n \in \mathbb{N} : u_{n+1}=2u_n-3. L'ensemble des fonctions croissantes sur I(resp onvexesc sur C) un ônec (dans le sens ositifp ) onvexe.c Le prduito de deux fonctions croissantes ositivesp est une fonction croissante ositive.p L'inverse d'une fonction croissante ospitive est décroissante. Sur l'intervalle [1;3] on dit que la fonction est strictement décroissante. Voilà, j'espère que c'est clair. Fonction décroissante au sens large, fonction décroissante mais qui ne l'est pas strictement. Dans chaque cas, la formule obtenue peut s’écrire de la même façon ′: ( )= ′( ) ′( ( )). La fonction x ↦ x n, de ℝ + dans ℝ, est strictement croissante sur ℝ +. u_{n+1} < u_n \Rightarrow f(u_{n+1}) < f(u_n) puisque f est strictement croissante ! Démonstration 2 Démontrer que la fonction carré f est strictement croissante sur [0 ; +∞[. Pour simplifier les explications, on supposera que les suites (u_n) étudiées ici sont définies pour tout entier naturel n, c'est à dire à partir de u_0. Pour tout entier naturel n : u_{n+1} < u_n donc la suite (u_n) est strictement décroissante. Montrer que la suite (u_n) est strictement décroissante. 2. négative). fonction est strictement croissante ou décroissante. Nous utilisons des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site. La fonction f ( x) = sin. conclusion : la fonction inverse est strictement décroissante sur ]0; +∞[ et aussi strictement décroissante sur ]-∞;0[ mais pas sur l'ensemble des nombres réels non nuls. f^\prime est strictement positive sur [0 ; + \infty [ donc la fonction f est strictement croissante sur [0 ; + \infty [ et la suite (u_n) est strictement croissante. 1) Fonction croissante. On a vu que, en tout point a ∈ I , f ′ ( a ) {\displaystyle a\in I,~f'(a)} est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de ƒ dans un repère. fonction strictement croissante , locution. La fonction inverse est strictement décroissante sur ] − ∞; 0 [et sur ] 0; + ∞ [. Définition d'une fonction strictement décroissante sur un intervalle. Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n : u_{n+1} < u_n. est strictement décroissante. Proposition 2. On dit que f est (strictement) monotone sur I si elle est (strictement) croissante ou (strictement) décroissante sur I. Exemple : Considérons la fonction définie sur par . Calculatrice facile avec fonctions de base, PGCD : calculer le Plus Grand Commun Diviseur. b) Savoir exploiter un tableau de variations Exercice n°1 : soit u une fonction dont le tableau de variation sur 3 est : x -∞ -1 3 + ∞ u(x) 1 -2 Les informations contenues dans ce tableau permettent-elles de comparer : • u(-3) et u(-2) ? Si \(x_{2}=2\) = 2, alors f(2) = 8. Autrement dit, un est dite croissante lorsque, pour tout entier naturel n, u un n 1. Soit la suite (u_n) définie par u_0=0 et pour tout entier naturel n : u_{n+1}=u_n^3+u_n-1. Les méthodes ci-dessous se généralisent facilement aux suites commençant à u_1, u_2, etc. Si f ′ ( a ) > 0 {\displaystyle f'(a)>0} , la tange… u_0=0 et u_1= -1. 2) Fonction carré Définition : La fonction carré est la fonction f définie sur par f(x)=x2. Moi qui craignais de ne pas voir une évidence, me voici rassuré. Exemple La fonction cube x 7→x3 est strictement croissante… Etudier le sens de variation de la suite (u_n). ( u n) (u_n) (u. Solution : Si vous continuez à utiliser ce dernier, nous considérerons que vous acceptez l'utilisation des cookies. Je ne sais pas pourquoi certains élèves et étudiants inventent cette fausse propriété, parce qu'elle ne se trouvera dans aucun … •0Éa0. Fonction strictement décroissante, fonction décroissante f telle que x ≠ x′ ⇒ f(x) ≠ f(x′). u_{n+1}-u_n= \frac{1}{(n+1)(n+2)}. Soit ƒ une fonction dérivable sur son intervalle de définition I. Soit la fonction définie par f(x) = 3x + 2. Fonctions strictement croissantes On dit qu’une fonction f est strictement croissante ssi pour x et y dans le DD de f, si on a x < y, on a aussi f(x) < f(y). Fonction décroissante Une fonction est croissante : Lorsque les abscisses augmentent, les ordonnées : ; augmentent aussi C'est-à-dire qu’elle est croissante si sa courbe représentative monte lorsqu’on la parcourt dans le sens de l’axe des abscisses. Hicham valide l'une des deux méthodes que j'ai proposées, et il s'en … 3. a = 3 ( positif) donc la fonction est croissante sur R. Mathématiques. Cette fonction est strictement décroissante sur son domaine de définition. La fonction inverse est définie sur l'ensemble des réels privé de 0; on peut donc étudier le sens de variations sur chacun des intervalles ]-∞ ;0 [ et ]0; +∞[. Cette bijection est même un homéomorphisme, c'est-à-dire que la fonction réciproque est également continue. Fonction mathématique f définie sur un intervalle I comme strictement croissante sur I si pour tous réels a et b appartenant à I tels que a < b, on a f ( a) < f ( b ). La fonction f ( x) = − x est une fonction strictement décroissante. Une fonction est décroissante : u_{n+1}= \frac{n+1}{(n+1)+1}= \frac{n+1}{n+2} . Exemple. n. . ) 1.La dérivée. En effet, elle est strictement croissante sur ℝ + (cf. Remarque : La fonction fchange donc alors l’ordre. \phantom{u_{n+1} < u_n} \Rightarrow u_{n+2}< u_{n+1} la dérivvée de f(x) est f'(x) = 3x². Remarque (supp) : Dans les propriétés vues précédemment, on étudie à chaque fois une fonction de la forme ( )= ( ))où et sont deux fonctions. •a0 pour tout x sauf 0 . Une suite arithmétique de raison r est définie par une relation du type u_{n+1}=u_n + r. Remarque: on constate donc que les images des nombres a et b sont rangées dans le même ordre que a et b. Une fonction croissante conserve par conséquent l’ordre. u_{n+1}-u_n est donc du signe de q-1 (puisqu'on a supposé u_0 et q positifs). Remarque 2 : Une suite peut très bien n'être ni croissante, ni décroissante, ni constante (cas des suites non monotones comme la suite. Mathématiques. Soit f croissante et dérivable sur . ′ = + > donc est strictement croissante. Une suite arithmétique est croissante (resp. Il existe donc au plus un tel α {\displaystyle \alpha } . En effet, si x 1, x 2 ∈ R avec x 1 < x 2, on a − x 1 > − x 2, donc f ( x 1) > f ( x 2). Remarque : On parle souvent de fonction strictement croissante (respectivement strictement dé… Contenu des sites déposé chaque semaine chez un huissier de justice. Remarque 2. Si a est strictement positif alors la fonction est strictement croissante sur R, si a est strictement négatif alors la fonction est strictement décroissante sur R, et si a = 0 alors la fonction est constante sur R. Exemple: soit la fonction définie sur R par : x --> 3x + 2; C'est une fonction affine. On calcule u_{n+1} en remplaçant n par n+1 dans la formule donnant u_n : u_1 < u_0 donc la propriété est vraie au rang 0. Suites croissantes et suites décroissantes 1) Définitions Définition 2: Lorsque chaque terme d’une suite un est supérieur au terme qui le précède, on dit que la suite un est croissante. - Intuitivement, on dit qu’une fonction est croissante lorsqu’en parcourant la courbe de la gauche vers la droite, on « monte ». Supposons que la propriété u_{n+1} < u_n est vraie pour un certain entier n et montrons que u_{n+2} < u_{n+1}. Conclusion : la fonction carré est strictement décroissante sur ]−∞; 0]. On reprend la suite (u_n) de l'exemple 1 définie pour tout n \in \mathbb{N} par u_n= \frac{n}{n+1} . On considère donc deux nombres a et b non nuls et de même signe et on calcule la différence entre les inverses. On a donc u_{n+1}-u_n=r. 09 - FONCTIONS STRICTEMENT CROISSANTES À DÉRIVÉES QUI S’ANNULENT A) Introduction Toutes les fonctions de cet article sont à valeurs dans \et, sauf au paragraphe E), définies sur \. Si la suite (u_n) est définie par une formule explicite du type u_n=f(n), on peut étudier les variations de la fonction x \longmapsto f(x) sur [0; +\infty[. 2. Pour une telle fonction f, on note Z()f l’ensemble f −1(0)des zéros de f; si f … décroissante) si et seulement si sa raison est positive (resp. Définitions Soit f une fonction définie sur un intervalle I. n. n n étant un entier naturel, il est positif ou nul. On considère une suite géométrique de premier terme et de raison tous deux positifs. Pour montrer qu'il en existe un, on applique le théorème des valeurs intermédiaires : f {\displaystyle f} est continue, lim − ∞ f = − ∞ < 0 {\displaystyle \lim _{-\infty }f=-\infty <0} et f … 5 1 > 8 1 car 5 < 8 b. Solution : Si \(x_{1}=0\) = 0, alors f(0) = 2. le générateur de tests - créez votre propre test ! Illustration (l'allure est 'descendante' quand on parcourt la courbe de gauche à droite):
Vivre à Maintenon, Magasin Afro Châtelet, Marketing Digital L'oréal, Coiffeur Mulhouse Homme, Poisson Blanc Espèce, Industria Coiffure Carrefour Laval, David Alaba Barça,